Résolution d'un système par substitution

Méthode

La méthode de résolution d'un système par substitution consiste à :

• exprimer une des variables en fonction de l’autre dans l’une des deux équations ;
  
• puis à substituer cette expression dans la seconde équation. On obtient ainsi une équation à une seule inconnue.
  

Remarques

• Cette méthode est particulièrement utile lorsque l'on peut facilement isoler l'une des variables.
  
• Cette méthode est donc très utile si l'on cherche à étudier l'intersection de deux droites du plan et que l'on connaît l'équation réduite d'une des deux droites.
  

Exemple

On souhaite résoudre le système d'équations \((\text S) : \begin{cases} 2x+3y=7\\ x+2y=4 \end{cases}\)

1. On isole \(x\) dans la deuxième équation. Le système devient \(\begin{cases} 2x+3y=7\\ x=4-2y \end{cases}\)
2. On remplace \(x\) par son expression dans la première équation.
Ainsi, on obtient \(\begin{cases} 2 \times (4-2y)+3y=7\\ x=4-2y \end{cases}\)
3. On développe et on résout la première équation. Ainsi, on obtient \(\begin{cases} y=1\\ x=4-2y \end{cases}\)
4. Finalement, on remplace \(y\) par sa valeur dans la deuxième équation et on obtient \(\begin{cases} y = 1\\ x=2 \end{cases}\)

5. On vérifie que le couple \((2;1)\) est bien solution du système en remplaçant \(x\) et \(y\) respectivement par \(2\) et \(1\) dans les deux équations initiales et en constatant que les deux égalités sont vraies.

6. En conclusion, l'unique solution du système \((\text S)\) est le couple \((2;1)\).